作者より：

じゃあ、何が正解なんですか？　なりぬ？
古語の誤用を避けるために、今回はこのサイト（現代文を古文にする3：https://catincat.jp/javascript/kogo3.html）を使ってその歌は考えました。「なった」と入れたら「なりき」と出てきたんですが、このサイトがおかしいのでしょうか。
---2020/03/18 22:52追記---

わざわざ例文まで出して説明してくれたので、古語と現代口語における助動詞の違い（過去時制と完了相）がよく分かりました。こういう変換サイトはそれなりに優秀だと思いますが、そういう助動詞の意味の細かい違いは汲み取れないんですね。
それで、「なりぬ」でいいんでしょうか？それでも「口語と文語の混淆が見られる」ということになるのかもしれませんが